2.2 小数的二进制表示

计算机之所以叫“计算”机，就是因为发明它主要是用来计算的，“计算”当然是它的特长，在大家的印象中，计算一定是非常准确的。但实际上，即使在一些非常基本的小数运算中，计算的结果也是不精确的，比如：

float f = 0.1f*0.1f;
System.out.println(f);

这个结果看上去，应该是0.01，但实际上，屏幕输出却是0.010000001，后面多了个1。看上去这么简单的运算，计算机怎么会出错了呢？

2.2.1 小数计算为什么会出错

实际上，不是运算本身会出错，而是计算机根本就不能精确地表示很多数，比如0.1这个数。计算机是用一种二进制格式存储小数的，这个二进制格式不能精确表示0.1，它只能表示一个非常接近0.1但又不等于0.1的一个数。数字都不能精确表示，在不精确数字上的运算结果不精确也就不足为奇了。

0.1怎么就不能精确表示呢？在十进制的世界里是可以的，但在二进制的世界里不行。在说二进制之前，我们先来看下熟悉的十进制。

实际上，十进制也只能表示那些可以表述为10的多少次方和的数，比如12.345，实际上表示的是1× 10+2× 1+3× 0.1+4× 0.01+5× 0.001，与整数的表示类似，小数点后面的每个位置也都有一个位权，从左到右，依次为0.1,0.01,0.001…即10^(-1),10^(-2),10^(-3)等。

很多数十进制也是不能精确表示的，比如1/3，保留三位小数的话，十进制表示是0.333，但无论后面保留多少位小数，都是不精确的，用0.333进行运算，比如乘以3，期望结果是1，但实际上却是0.999。

二进制是类似的，但二进制只能表示那些可以表述为2的多少次方和的数。来看下2的次方的一些例子，如表2-3所示。

表2-3 2的次方

可以精确表示为2的某次方之和的数可以精确表示，其他数则不能精确表示。

为什么计算机中不能用我们熟悉的十进制呢？在最底层，计算机使用的电子元器件只能表示两个状态，通常是低压和高压，对应0和1，使用二进制容易基于这些电子元器件构建硬件设备和进行运算。如果非要使用十进制，则这些硬件就会复杂很多，并且效率低下。

如果编写程序进行试验，会发现有的计算结果是准确的。比如，用Java写

System.out.println(0.1f+0.1f);
System.out.println(0.1f*0.1f);

第一行输出0.2，第二行输出0.010000001。按照上面的说法，第一行的结果应该也不对。其实，这只是Java语言给我们造成的假象，计算结果其实也是不精确的，但是由于结果和0.2足够接近，在输出的时候，Java选择了输出0.2这个看上去非常精简的数字，而不是一个中间有很多0的小数。在误差足够小的时候，结果看上去是精确的，但不精确其实才是常态。

计算不精确，怎么办呢？大部分情况下，我们不需要那么高的精度，可以四舍五入，或者在输出的时候只保留固定个数的小数位。如果真的需要比较高的精度，一种方法是将小数转化为整数进行运算，运算结束后再转化为小数；另一种方法是使用十进制的数据类型，这个并没有统一的规范。在Java中是BigDecimal，运算更准确，但效率比较低，本节就不介绍了。

2.2.2 二进制表示

我们之前一直在用“小数”这个词表示float和double类型，其实，这是不严谨的，“小数”是在数学中用的词，在计算机中，我们一般说的是“浮点数”。float和double被称为浮点数据类型，小数运算被称为浮点运算。

为什么要叫浮点数呢？这是由于小数的二进制表示中，表示那个小数点的时候，点不是固定的，而是浮动的。

我们还是用十进制类比，十进制有科学记数法，比如123.45这个数，直接这么写，就是固定表示法，如果用科学记数法，在小数点前只保留一位数字，可以写为1.2345E2即1.2345× (10^2)，即在科学记数法中，小数点向左浮动了两位。

二进制中为表示小数，也采用类似的科学表示法，形如m× (2^e)。m称为尾数，e称为指数。指数可以为正，也可以为负，负的指数表示那些接近0的比较小的数。在二进制中，单独表示尾数部分和指数部分，另外还有一个符号位表示正负。

几乎所有的硬件和编程语言表示小数的二进制格式都是一样的。这种格式是一个标准，叫做IEEE 754标准，它定义了两种格式：一种是32位的，对应于Java的float；另一种是64位的，对应于Java的double。

32位格式中，1位表示符号，23位表示尾数，8位表示指数。64位格式中，1位表示符号，52位表示尾数，11位表示指数。在两种格式中，除了表示正常的数，标准还规定了一些特殊的二进制形式表示一些特殊的值，比如负无穷、正无穷、0、NaN（非数值，比如0乘以无穷大）。IEEE 754标准有一些复杂的细节，初次看上去难以理解，对于日常应用也不常用，本书就不介绍了。

如果想查看浮点数的具体二进制形式，在Java中，可以使用如下代码：

Integer.toBinaryString(Float.floatToIntBits(value))
Long.toBinaryString(Double.doubleToLongBits(value));